N  = N  exp ( rt ).

К примеру, в 1950‑1980 годах общемировой коэффициент естественного прироста r  был равен 0.018. Это означает, что за время t  население вырастает в exp(0.018t)  раз. За 50 лет оно вырастает в 2,5 раза, за 100 – в 6 раз, за 300 лет – в 220 раз! Скорость заполнения экологической ниши огромна и быстрое пришествие голода неизбежно – таков основной вывод из заложенной Мальтусом теории экспоненциального роста. Для историка это означает, что перенаселение было обычным состоянием человеческого общества на протяжении многих тысячелетий. Перенаселение и голод вызывают к жизни социалистическую Империю – и мы действительно видим, что реальностью древней истории было господство империй.

Голод меняет динамику воспроизводства населения – к естественной смертности q добавляется голодная смертность Q , которая компенсирует рост численности населения. В экологии обычно рассматривается простейшая модель воспроизводства, когда Q  имеет вид Q =rN/K , где K  – максимальная емкость экологической ниши. Это означает, что смертность увеличивается пропорционально величине V = N/K  – «заполнению» экологической ниши. Мы будем называть величину Q  также демографическим давлением, а величину военной смертности – военным давлением. Пусть P  – величина пищевых ресурсов местности, а w  – минимально возможное душевое потребление. Тогда K=P/w  и

Q  = rN / K  = rw ( N / P ).

Таким образом, в общепринятой модели демографическое давление обратно пропорционально среднему потреблению продуктов питания P/N. Величину среднего потребления можно найти в демографических справочниках. В 70‑х годах эта величина составляла в среднем в мире 2600 ккал, в странах Европы – 3200 ккал, в Мали – 1621, в Эфиопии ‑1752, в Индии – 1906 ккал. По этим количественным величинам можно судить о демографическом давлении и остроте политического положения в различных странах.

С учетом демографического давления дифференциальное уравнение примет вид

dN / dt  = r (1‑ N / K ) N

Это уравнение называют логистическим, а его решение

N  = K /( ( K / N  –1) exp (‑ rt )+1)

– логистической кривой. На начальных участках логистическая кривая ведет себя подобно экспоненциальной кривой, но при приближении к величине К она довольно резко поворачивает к асимптоте N(t) = K  – популяция вступает в период экологического равновесия, характеризующийся постоянным голодом.

В общепринятой математической модели считается, что смертность возрастает прямо пропорционально заполнению экологической ниши V . Биологические эксперименты показали, что логистическая модель достаточно хорошо описывает динамику роста различных популяций животных. В 20‑х годах было обнаружено, что ее можно применять также и для анализа роста населения в некоторых странах. Например, логистической кривой с К = 60  млн. описывается рост населения китайской империи Хань в I‑II вв.н.э (см. рис.).

Конечно, реальные данные переписей могут давать отклонения от теоретических расчётов – это связано с действием случайных факторов, таких, как войны и засухи, однако, в целом, теория вполне согласуется с реальностью. Период, когда логистическая кривая идёт вдоль асимптоты, мы называем Сжатием – это время голода, когда голодающие крестьяне за бесценок продают свои наделы и уходят в города; в это время разрастается помещичья собственность, а государство переживает тяжёлый кризис. В конце концов, голод поднимает народ на восстание, и начинается гражданская война, приводящая к демографической катастрофе и гибели большой части населения. Катастрофа завершает ДЕМОГРАФИЧЕСКИЙ ЦИКЛ; гражданская война приводит к истреблению помещиков и рождению социалистической Империи – государства, которое наделяет крестьян землёй и пытается поддерживать социальную справедливость. Затем начинается новый демографический цикл, население начинает расти, логистическая кривая снова приближается к асимптоте, и снова приходит голод. Крестьяне, несмотря на запреты, продают за бесценок наделы, снова разрастаются помещичьи усадьбы, а монархия оказывается бессильной отвратить приближающуюся катастрофу. Новая революция порождает новую Империю – может быть, лучше организованную и более справедливую, – но затем всё повторяется снова и снова.

Так выглядит история с точки зрения математики.